Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение x^3–ax–1=0
имеет единственный корень.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо и достаточно, чтобы его график не пересекал ось абсцисс более одного раза. Это происходит при условии, что уравнение имеет кратный корень.

Проведем анализ уравнения x^3 - ax - 1 = 0. Его производная равна 3x^2 - a. Кратные корни у уравнения возможны, если производная имеет общие корни с исходным уравнением.

Получаем уравнение 3x^2 - a = 0. Решим его относительно x:

3x^2 = a
x^2 = a/3
x = ±√(a/3)

Таким образом, уравнение x^3 - ax - 1 = 0 будет иметь единственный корень, если √(a/3) будет кратным корнем уравнению x^3 - ax - 1 = 0.

То есть, необходимо чтобы √(a/3) было корнем уравнения x^3 - ax - 1 = 0 и при этом производная уравнения в этой точке равнялась нулю.

Таким образом, решая систему уравнений x^3 - ax - 1 = 0 и 3x^2 - a = 0, можно найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный корень.