Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг
координатной оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = х^2 и 8х = у^2 Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг
координатной оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = х^2 и 8х = у^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения двух графиков:

у = х^2
8х = у^2

Подставляем выражение y = x^2 во второе уравнение:
8x = (x^2)^2
8x = x^4
x^4 - 8x = 0
x(x^3 - 8) = 0
x(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0

x1 = 0, x2 = 2

Теперь вычислим объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Oy:

V = π ∫[a, b] x^2 dy

Объем V будет равен интегралу от x^2 по y от 0 до 2:

V = π ∫[0, 2] x^2 dy = π ∫[0, 2] √y dy
V = π (∫[0, 2] y^(3/2)/3|)[0, 2]
V = π (2^(3/2)/3 - 0)
V = 2π/3

Ответ: объем тела, образованного вращением данной фигуры вокруг оси Oy, равен 2π/3.