Математика
Домашнее задание В турнире матбоев каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу присуждали 2 очка, за ничью 1 очко, за проигрыш 0 очков. 2 команды в конце турнира дисквалифицировали за неспортивное поведение, аннулировав результаты всех боёв с их участием. Оказалось, что до дисквалификации все оставшиеся команды набрали по разному число очков, а после - снова по разному число очков. При этом порядок оставшихся команд поменялся на обратный, то есть первая из них стала последней, вторая - предпоследней и так далее. Какое наибольшее число команд могло участвовать в турнире?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что в турнире участвовало N команд.

До дисквалификации победителей будет N(N-1)/2 + 2N очков (N(N-1)/2 - сумма всех возможных сочетаний побед, 2N - за ничью). После дисквалификации победителей, удаляя 2 команды, остаётся N-2 команды. После дисквалификации общее количество очков равно сумме арифметической прогрессии (1+2+...+N-2), то есть (N-2)(N-1)/2, так как каждая команда играла по разу с каждой другой.

Исходя из условия задачи, после дисквалификации порядок команд поменялся на обратный. Значит, сумма очков после дисквалификации должна быть равна сумме очков до дисквалификации, но выраженной через N-2 команды.

Итак, уравнение, которое получается из условия задачи:

(N-2)(N-1)/2 = N(N-1)/2 + 2N

(N^2 - 3N + 2)/2 = (N^2 - N)/2 + 2N

N^2 - 3N + 2 = N^2 - N + 4N

N^2 - 3N + 2 = 3N

N^2 - 6N + 2 = 0

Получаем дискриминант D = 36 - 8 = 28. Решая уравнение получаем:
N = (6 ± √28)/2 = 3 ± √7

Таким образом, наибольшее число команд, которое могло участвовать в турнире, равно 3 + √7 ≈ 5.65. Но так как команды должны быть целым числом, следует, что наибольшее число команд - 5.