Корни уравнения (x^4=1) можно найти, декартово представив комплексные числа и воспользовавшись формулой Муавра.
Объявим комплексное число в тригонометрической форме: (x = r(\cos\theta + i\sin\theta)), где (r) - радиус-вектор, а (\theta) - угол.
Имеем (x^4 = r^4(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)). Учитывая, что (x^4 = 1) и (\cos 2\pi k = 1), где (k) - целое число, получаем:
[r^4 = 1 \Rightarrow r = 1 ]
[\cos 4\theta + i\sin 4\theta = 1 \Rightarrow \cos 4\theta = 1, \sin 4\theta = 0 \Rightarrow 4\theta = 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} ]
Таким образом, получаем четыре корня уравнения (x^4=1): (x_1 = 1), (x_2 = i), (x_3 = -1), (x_4 = -i).
Корни уравнения (x^4=1) можно найти, декартово представив комплексные числа и воспользовавшись формулой Муавра.
Объявим комплексное число в тригонометрической форме: (x = r(\cos\theta + i\sin\theta)), где (r) - радиус-вектор, а (\theta) - угол.
Имеем (x^4 = r^4(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)). Учитывая, что (x^4 = 1) и (\cos 2\pi k = 1), где (k) - целое число, получаем:
[r^4 = 1 \Rightarrow r = 1 ]
[\cos 4\theta + i\sin 4\theta = 1 \Rightarrow \cos 4\theta = 1, \sin 4\theta = 0 \Rightarrow 4\theta = 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} ]
Таким образом, получаем четыре корня уравнения (x^4=1): (x_1 = 1), (x_2 = i), (x_3 = -1), (x_4 = -i).