Прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15 вписан в
окружность.
На сколько радиус окружности, вписанной в этот треугольник,
меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем радиус вписанной окружности. Он равен отношению полупериметра треугольника к полупериметру треугольника:
r = S / p,
где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c)),
где a, b, c - стороны треугольника, p = (a + b + c) / 2.

Для данного прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15 у него гипотенуза равна:
c = sqrt(8^2 + 15^2) = sqrt(64 + 225) = sqrt(289) = 17

Тогда полупериметр равен:
p = (8 + 15 + 17) / 2 = 40 / 2 = 20

Площадь треугольника:
S = sqrt(20 (20 - 8) (20 - 15) (20 - 17)) = sqrt(20 12 5 3) = sqrt(1200) = 20 * sqrt(3)

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:
r = S / p = 20 * sqrt(3) / 20 = sqrt(3)

Теперь найдем радиус описанной окружности. Он равен половине гипотенузы:
R = c / 2 = 17 / 2 = 8.5

Итак, радиус вписанной окружности равен sqrt(3), а радиус описанной окружности равен 8.5.
Разность радиусов:
8.5 - sqrt(3) ≈ 7.21.

Итак, радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, на 7.21 меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника.