Геометрия.
Очень прошу знающих помочь. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области Д. Область изобразить на чертеже.
Z = x² + y² - 2x - 2y , D : 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤
2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем частные производные функции Z по х и у:

∂Z/∂x = 2x - 2
∂Z/∂y = 2y - 2

Приравняем их к нулю и найдем стационарные точки:

2x - 2 = 0
2y - 2 = 0

Отсюда получаем x = 1, y = 1. Теперь подставляем точку в функцию Z:

Z(1, 1) = 1² + 1² - 21 - 21 = -2

Таким образом, наибольшее значение функции в замкнутой области D равно -2. А чтобы найти наименьшее значение, исследуем функцию на границах области D.

При x = 0 и y = 0 получаем Z(0, 0) = 0
При x = 0 и y = 2 получаем Z(0, 2) = 4
При x = 2 и y = 0 получаем Z(2, 0) = 4
При x = 2 и y = 2 получаем Z(2, 2) = 0

Таким образом, наименьшее значение функции в замкнутой области D равно 0.

Область D - это квадрат со стороной 2 и вершинами в точках (0,0), (2,0), (0,2), (2,2).

На чертеже область D будет представлена квадратом, а точки минимума (0,0) и максимума (1,1) будут находиться внутри этого квадрата.