МОжете помочь с алгебройййцццццйййййй Число 1-√5 является корнем уравнения x⁴+ax³+bx²+14x-4=0. Найди сумму всех его корней, если известно, что a и b рациональные числа

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти сумму всех корней уравнения, мы можем воспользоваться формулой Виета.

Пусть корни уравнения x⁴+ax³+bx²+14x-4=0 обозначаются как x₁, x₂, x₃, x₄.

Из формулы Виета для корней четвертой степени следует:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -
x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄ =
x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄ + x₂x₃x₄ = 1
x₁x₂x₃x₄ = -4

По условию известно, что x₁ = 1-√5. Так как остальые корни уравнения тоже должны быть корнями этого же уравнения, то они также должны быть комплексно-сопряженными корнями (то есть иметь вид 1+√5, 1-√5, -1+√5).

Таким образом, сумма всех корней равна:

(1-√5) + (1+√5) + (-1+√5) + (-1-√5) = 0

Ответ: сумма всех корней равна 0.