Геометрия катет и гипотенуза 2. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC катет BC является средним пропорциональным отрезка BC и отрезка AC.

Треугольник ABC – прямоугольный, значит, по теореме Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2.

Также, по условию, есть высота CD, проведенная из вершины C к гипотенузе AC. Тогда треугольник ACD подобен треугольнику ABC. Поэтому отрезки AD и DC имеют следующее соотношение:
AD/CD = CD/AC.

Теперь заметим, что т.к. BC является средним пропорциональным между BC и AC, то BC^2 = AB * DC.

Подставим BC^2 = AB DC в выражение для AC^2:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + AB DC = AB(AB + DC) = AB AC.
Таким образом, AC^2 = AB * AC.
Сокращаем обе части равенства на AC:
AC = AB, то есть катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.