. В треугольнике PQR биссектриса RT делит сторону PQ на отрезки PT и TQ. Найдите PT, если TQ=3 см, PR=8 см, QR=12 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину отрезка TR.

Используем теорему косинусов в треугольнике PQR:
PR^2 = PQ^2 + QR^2 - 2PQQRcos(P)
8^2 = PT^2 + 12^2 - 2PT12cos(P)
PT^2 + 144 - 24PTcos(P) - 64 = 0
PT^2 - 24PTcos(P) + 80 = 0

Теперь найдем косинус угла P:
cos(P) = (PT^2 + QR^2 - PR^2) / (2PTQR)
cos(P) = (PT^2 + 12^2 - 8^2) / (2PT12)
cos(P) = (PT^2 + 144 - 64) / (24PT)
cos(P) = (PT^2 + 80) / (24PT)

Подставляем выражение для cos(P) в уравнение PT^2 - 24PT*(PT^2 + 80) / (24PT) + 80 = 0
PT^2 - PT^2 - 1920/24 + 80 = 0
-1920/24 + 80 = 0
-80 + 80 = 0
0 = 0

Таким образом, получаем, что отрезок PT равен 3 см.