Задание из ЕГЭ. Найдите точку минимума функции y=(0,8-x)cosx+sinx, принадлежащую промежутку (0; pi/2).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точки минимума функции y=(0,8-x)cosx+sinx на промежутке (0; pi/2) необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

y' = -0,8cosx + sinx - cosx(0,8-x)

y' = -0,8cosx + sinx - 0,8cosx + xcosx
y' = -1,6cosx + sinx + xcosx

Приравниваем производную к нулю:

-1,6cosx + sinx + xcosx = 0
-1,6cosx + sinx + xcosx = 0
cosx(-1,6+x) + sinx = 0
cosx(-1,6+x) = -sinx
-(1,6-x) = -tgx
1,6 - x = tgx
1,6 = x + tgx
Или x = 1,6 - tgx

Найдем вторую производную и проверим достаточное условие экстремума:
y'' = 1,6sinx + cosx - sinx - 0,8cosx + cosx - xsinx
y'' = 1,6sinx + cosx - sinx - 1,8cosx - xsinx

Теперь подставим найденное значение x = 1,6 - tgx:
y'' = 1,6sin(1,6 - tgx) + cos(1,6 - tgx) - sin(1,6 - tgx) - 1,8cos(1,6 - tgx) - (1,6 - tgx)sin(1,6 - tgx)

После подстановки второй производной выходит не очень красиво - уравнение содержит тангенс:

y'' = 1,6sin(1,6 - tgx) + cos(1,6 - tgx) - sin(1,6 - tgx) - 1,8cos(1,6 - tgx) - (1,6 - tgx)sin(1,6 - tgx)

Но нам дали определенный промежуток, на котором мы ищем минимум функции (0; pi/2), который не включает в себя точку x = 1,6 - tgx. Значит, точка минимума находится в другом месте на интервале (0; pi/2).