Олимпиадная математика. Математика Найдите наибольшее натуральное число a такое, что для любого его простого делителя d число a делится на d−1, но не делится на d в квадрате.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть число a имеет вид a = p1^k1 p2^k2 ... * pm^km, где pi - простые делители числа a. Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

a = p1^k1 p2^k2 ... * pm^km
d - простой делитель числа a
a делится на d - 1, но не делится на d^2

Так как a делится на d - 1, то a = d * n + 1, где n - некоторое целое число. Разберем два случая:

d > 2
Тогда a = d n + 1 = d (n - 1) + (d - 1) = d * (n - 1) + d - 1. Очевидно, что в данном случае a делится на d, но не делится на d^2, так как d не является простым делителем a.

d = 2
Тогда a = 2 n + 1. Предположим, что a делится на 4. Тогда a = 4 m = 2 2 m, а это противоречит условию задачи. Следовательно, a не делится на 4.

Таким образом, наибольшее натуральное число a, удовлетворяющее условиям задачи, равно 3.