Дан треугольник с вершинами О(0;2;0) , А(2; 0;4), В(4;4;2). Найдите площадь данного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB}:

\overrightarrow{OA} = A - O = (2 - 0) \overrightarrow{i} + (0 - 2) \overrightarrow{j} + (4 - 0) \overrightarrow{k} = 2 \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} + 4 \overrightarrow{k
\overrightarrow{OB} = B - O = (4 - 0) \overrightarrow{i} + (4 - 2) \overrightarrow{j} + (2 - 0) \overrightarrow{k} = 4 \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}

Теперь найдем векторное произведение векторов \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB}:

\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \ 2 & -2 & 4 \ 4 & 2 & 2 \end{vmatrix}

= (\overrightarrow{j} \cdot 4 \overrightarrow{k} - \overrightarrow{k} \cdot (-2) \overrightarrow{j})\overrightarrow{i} - (\overrightarrow{i} \cdot 4 \overrightarrow{k} - \overrightarrow{k} \cdot 2 \overrightarrow{i})\overrightarrow{j} + (\overrightarrow{i} \cdot 2 \overrightarrow{j} - \overrightarrow{j} \cdot 4 \overrightarrow{i})\overrightarrow{k}

= 8 \overrightarrow{i} - 8 \overrightarrow{j} - 12 \overrightarrow{k}

Теперь найдем модуль этого вектора (площадь площади):

S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} \sqrt{8^2 + (-8)^2 + (-12)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 64 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{272} = \frac{1}{2} \cdot 16.49 \approx 8.25

Итак, площадь треугольника равна 8.25.