Решите задачу по геометрии Аня взяла тетраэдр ABCD с ребром Корень2 и провела в нём прямую L , соединяющую середины противоположных рёбер AB и CD . Лёша нарисовал тетраэдр A1B1C1D1 , который получился поворотом тетраэдра ABCD относительно прямой L на 90∘ . Найдите объём фигуры, которая является пересечением тетраэдров ABCD и A1B1C1D1 . В качестве ответа введите натуральное число или несократимую дробь, например: 1/2.
На решения два часа

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения прямой L с плоскостью ABCD как O. Так как прямая L соединяет середины противоположных рёбер, то она делит тетраэдр на две пирамиды: AOBС и COD1B1.

Так как тетраэдр ABCD является прямоугольным, то угол между прямой L и любым ребром тетраэдра равен 90 градусам. Поэтому тетраэдр A1B1C1D1 также является прямоугольным, где ребро равно корень из 2.

Обратим внимание, что фигура пересечения - это пирамида AOBС с основанием ABC и вершиной O. Так как AO = 1/2 AB и CO = 1/2 CD, то площадь основания пирамиды можно найти как S = 1/2 AB CD = 1/2 * 2 = 1.

Высота пирамиды равна расстоянию от O до плоскости ABC, которая равна 1/2 AB. Получаем, что объем пирамиды равен 1/3 S h = 1/3 1 1/2 = 1/6.

Таким образом, объем фигуры, являющейся пересечением тетраэдров ABCD и A1B1C1D1, равен 1/6.

Ответ: 1/6.