Олимпиадная математика. Алгебра. Уравнение x4+ax2+b=0 имеет ровно три корня. Сколько корней имеет уравнение x4+bx2+a=0?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Уравнение x^4 + ax^2 + b = 0 имеет ровно три корня, следовательно уравнение имеет один двойной корень и один простой корень. Это означает, что a^2 - 4b = 0.

Теперь рассмотрим уравнение x^4 + bx^2 + a = 0. Чтобы найти количество корней этого уравнения, можно провести замену переменных x = y^2. Тогда уравнение примет вид y^4 + by^2 + a = 0. Теперь это уже уравнение квадратного вида относительно y^2.

Из первого же уравнения мы знаем, что a^2 - 4b = 0, следовательно b = a^2/4. Подставив это значение b в уравнение y^4 + by^2 + a = 0, получим y^4 + a^2/4*y^2 + a = 0.

Применим к данному уравнению определитель Виета, который гласит, что для уравнения вида y^2 + py + q = 0 с корнями y1 и y2 справедливо, что y1 + y2 = -p и y1*y2 = q.

В нашем случае y^4 + a^2/4y^2 + a = 0 у нас два корня, эти корни обозначим как y1 и y2. Из определителя Виета получаем, что y1 + y2 = 0 и y1y2 = a. Это означает, что уравнение имеет два корня:

y = sqrt(y1) и y = -sqrt(y1).

Таким образом, исходное уравнение x^4 + bx^2 + a = 0 имеет 4 корня:

x = sqrt(y1), x = -sqrt(y1), x = sqrt(y2), x = -sqrt(y2).

Ответ: уравнение x^4 + bx^2 + a = 0 имеет 4 корня.