Задачки по математике 1) В компании некоторые пары людей дружат (если A дружит с B , то и B дружит с A ). Оказалось, что среди каждых 100 человек в компании количество пар дружащих людей нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании.
2) Пусть CE – биссектриса в остроугольном треугольнике ABC . На внешней биссектрисе угла ACB отмечена точка D, а на стороне BC – точка F , причём ∠BAD = 90° =∠DEF Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника CEF , лежит на прямой BD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Предположим, что в компании есть n человек, где n - наибольшее возможное количество людей. Тогда общее количество пар людей в компании будет равно C(n, 2) = n*(n-1)/2. По условию, это число должно быть нечетным. Это возможно только если один из множителей n или (n-1) является нечетным. Таким образом, наибольшее возможное количество человек в компании будет равно 101.

2) Пусть O - центр описанной окружности треугольника CEF. Тогда угол CEF = 180 - ∠CEF = 180 - ∠C, так как треугольник CEF остроугольный. Угол COF = 2∠CEF = 2(180 - ∠C) = 360 - 2∠C. Так как угол DEF = 90°, то угол CEF = 90 + ∠F. Тогда угол OCF = 90 - ∠F.
Из данных условий получаем угол OCF = 2∠CEF. Отсюда 360 - 2∠C = 2(90 + ∠F). Упрощая уравнение, получаем 360 - 2∠C = 180 + 4∠F. Поскольку ∠C = ∠DEF, получаем 360 - 2∠DEF = 180 + 4∠F. Упрощая, получаем ∠DEF = 180 - 4∠F. Таким образом, угол DEF = 180 - 4*90 = 0, что означает, что точки D, E и F лежат на одной прямой BD. Таким образом, центр окружности, описанной около треугольника CEF, лежит на прямой BD.