Задание из впр Вася и Петя выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Докажите, что какие 6ы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть изначально у нас есть число (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l), где a - старшая цифра.

Чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы две последние цифры образовывали число, кратное 4.

Для этого рассмотрим все возможные остатки от деления на 4 чисел, образованных двумя последними цифрами:

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, ..., 98, 99

Из данного списка видно, что при делении на 4 могут получаться только следующие остатки: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.

Заметим, что необходимый остаток всегда зависит только от двух последних цифр, то есть от f и l. Выбрав значения для f и l так, чтобы число из 4-х цифр л, k, j, i образовывало число, кратное 4, Петя сможет выбирать значения для остальных цифр так, чтобы число делилось на 4.

Таким образом, какие бы цифры Вася ни выбрал для 6-ти недостающих разрядов, Петя сможет выбрать оставшиеся так, чтобы число делилось на 4.