Решение при помощи диаграммы Венна Из 240 студентов 30 изучают итальянский язык, 132 –
французский язык, 63 – французский и немецкий, 7 – итальянский и
французский, 11 – немецкий и итальянский, 4 – все три языка. Сколько
студентов изучают немецкий язык? Сколько студентов изучают только один
иностранный язык?
При решении использовать диаграмму Венна.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим диаграмму Венна по условию:
Пусть множество студентов изучающих итальянский язык обозначим как A, французский - как B, немецкий - как C.

Тогда по условию:
|A| = 30, |B| = 132, |C| = x (нам нужно найти x).
|A ∩ B| = 7, |B ∩ C| = 63, |A ∩ C| = 11.
|A ∩ B ∩ C| = 4.

Также из условия можно найти |A ∪ B ∪ C|, используя формулу включений-исключений:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 30 + 132 + x - 7 - 63 - 11 + 4 = 85 + x.

Теперь для нахождения x нарисуем диаграмму Венна и назначим области:

Так как в A инкрементируются все студенты итальянского языка, зная, что уже 4 студента изучают все три языка, нарисуем 4-элементную область ей относящихся, находящуюся пересекающейся с A, B и C.

Тогда верхнее объединение будет равняться x - 4, так как из числа итальянских, французских и немецких языков вычитаются уже отмеченные студенты.

В итоге можно представить следующее уравнение:

85 + x = 30 + 132 + x - 7 - 63 - 11 + 4 + (x - 4).

Решив это уравнение, мы найдем x, то есть количество студентов, изучающих немецкий язык.

Далее, чтобы найти количество студентов, изучающих только один иностранный язык:
Таких студентов будет равно |A| + |B| + |C| - 2|A ∩ B ∩ C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 30 + 132 + x - 24 - 7 - 63 - 11 + 4.

После нахождения этой суммы, мы найдем количество студентов, изучающих только один иностранный язык.