Задание – Найти производную по направлению функции u=u(x,y,z) в точке А по направлению к точке В.
U=ln(x^2+y^2)+xyz, A(1;-1;2), B(-3;2;2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной по направлению функции u=u(x,y,z) в точке A по направлению к точке B, нам нужно найти градиент функции u в точке A и найти направление от точки A к точке B.

Найдем градиент функции u в точке A(1;-1;2):
Градиент функции u(x,y,z) = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)
∂u/∂x = (2x/(x^2+y^2)) + yz
∂u/∂y = (2y/(x^2+y^2)) + xz
∂u/∂z = xy

Подставляем координаты точки A в эти производные:
∂u/∂x |A = (21/(1^2+(-1)^2)) + (-1)2 = 2/2 - 2 = 0
∂u/∂y |A = (2(-1)/(1^2+(-1)^2)) + 12 = -2/2 + 2 = 1
∂u/∂z |A = 1*1 = 1

Градиент функции u в точке A: ∇u = (0, 1, 1)

Найдем направление от точки A к точке B:
Направляющий вектор от точки A к точке B: r = B - A = (-3-1, 2-(-1), 2-2) = (-4, 3, 0)

Нормируем вектор r:
|r| = √((-4)^2 + 3^2 + 0^2) = √(16 + 9) = √25 = 5
n = r/|r| = (-4/5, 3/5, 0)

Найдем производную по направлению функции u в точке A по направлению к точке B:
Производная по направлению функции u = ∇u n = (0, 1, 1) (-4/5, 3/5, 0) = 0(-4/5) + 1(3/5) + 1*0 = 3/5

Итак, производная по направлению функции u=u(x,y,z) в точке A по направлению к точке B равна 3/5.