Задачи по математике
Вариант № 7
1. В кубе, ребро которого равно 12, центр верхней грани соединён с вершинами
основания. Найти полную поверхность ,образовавшейся пирамиды.
2. Найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 10, а двугранный угол при основании равен 600
3. Вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна 1 и
составляет с одной гранью угол 30°, а с другой 450.
4. Площадь параллельного сечения пирамиды составляет 0.36 её основания. В каком
отношении сечение делит объёмы пирамид?
5. Образующая конуса 10, составляет с площадью основания угол 45°.Определить объём
конуса
6. В конус вписан шар. Найти объём шара, если образующая конуса равна 10 и
наклонена к плоскости основания под углом 30

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

°.

Найти площадь поверхности сферы, описанной около тетраэдра, ребро которого равно 6. Найти объём шарового сегмента, если радиус сферы равен 8, а высота сегмента 6. Найти площадь кругового сектора, если радиус круга равен 5, а центральный угол составляет 600. Найти объём тетраэдра, если сторона основания равна 4, а высота проведена из вершины тетраэдра к середине стороны основания равна 5.

Решения:

Пусть H - центр верхней грани куба. Тогда треугольник, образованный H и вершинами основания, будет равносторонним. Высота этого треугольника равна
12, а каждая сторона - 12√2. Таким образом, площадь основания пирамиды равна 6·12√2 = 72√2.
Pоссчитаем боковую поверхность: 4 треугольника со стороной 12 и высотой 6, таким образом площадь боковой поверхности равна 4·(6·12/2) = 144.
Итак, полная поверхность пирамиды равна 72√2 + 144 = 72√2 + 144.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна 25√3. Боковая поверхность - 3 треугольника со стороной 10 и высотой 5√3, площадь которых равна 75√3.
Итак, полная поверхность правильной треугольной пирамиды равна 25√3 + 75√3 = 100√3.

Пусть а, b, c - стороны прямоугольного параллелепипеда, где а = 0.5, b = 0.5√3, c = 1, тогда объём V = abc = 0.5·0.5√3·1 = 0.25√3.

Пусть S - площадь основания пирамиды, V - её объём. Тогда S = 0.36S, V = (0.36S)h/3, где h - высота пирамиды. Таким образом, сечение делит объёмы пирамид в отношении 36:64.

Пусть R - радиус основания конуса. Тогда S = πR^2 = 100π/4, h = Rtgα = 10tg45 = 10. V = Sh/3 = (100π/4)10/3 = 250π/3.

Образующая конуса - это диаметр основания шара. Пусть R - радиус шара. Тогда R = 5, объём шара V = 4/3πR^3 = 500π/3.

Радиус описанной сферы равен 2√6, тогда площадь поверхности сферы S = 4π*2√6^2 = 48√6π.

Объём шарового сегмента V = 1/3πh^2(3R-h) = 1/3π6^2(3*8-6) = 208π.

Площадь кругового сектора S = πr^2(α/360) = π5^2(60/360) = 25π/6.

Пусть h - высота тетраэдра, тогда h = 4/2√3 = 2√3, V = (abc)/6 = (4(4 + 4 + 5)*2√3)/6 = 8√3.