Монеты. Среди одинаковых внешне монет есть монеты весом 9 и 10 грамм (есть и те и другие). Всего 16 монет и одни весы. Монеты. Среди одинаковых внешне монет есть монеты весом 9 и 10 грамм (есть и те и другие). Всего 16 монет и одни весы, на чашах которых лежит по 8 монет так, что весы в равновесии. За одну операцию разрешается поменять местами любое количество монет (Переместить с одной чаши на другую). Докажите, что за 5 ходов можно убрать равновесие

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Представим монеты в виде последовательности чисел 0 и 1, где 0 - это монета весом 9 грамм, а 1 - это монета весом 10 грамм. Тогда начальное положение монет можно представить в виде последовательности 8 нулей и 8 единиц: 0000000011111111.

Заметим, что при каждой операции перестановки монет, мы меняем количество 0 и 1 в одной чаши на одинаковое количество 1 и 0 в другой чаши. После каждой операции количество 0 и 1 в обеих чашах остается равным.

Так как сейчас у нас равное количество 0 и 1 в обеих чашах, то одну из чаш мы можем сделать одной цветовой характеристики, т.е. поменять все монеты в этой чаше на монеты другого цвета (нули на единицы и наоборот). Тогда мы получим последовательность 00000000 или 11111111.

Далее, мы можем произвести те же действия с другой чашей и получить последовательность одного цвета в обеих чашах, например, последовательность нулей: 00000000.

Теперь, если поменять любую из монет в одной из чаш на монету другого цвета из другой чаши, то равновесие нарушится. Это даст нам уже 3 хода.

Теперь можем вернуть последовательность обратно к начальному состоянию за еще 2 хода перестановок с помощью двух действий, которые мы описали в начале.

Итак, за 5 операций перестановок монет мы можем убрать равновесие.