Как вычислить значения выражений ³√(9+4√5)+³√(9-4√5) и ³√(9+4√5)-³√(9-4√5) вычисляя их одновременно?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления значений обоих выражений одновременно можно воспользоваться формулой суммы и разности кубов.

Посмотрим на первое выражение:

³√(9+4√5) = x, ³√(9-4√5) = y

Тогда:

x + y = ³√(9+4√5) + ³√(9-4√5)

Так как (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, то

(x + y)³ = (³√(9+4√5) + ³√(9-4√5))³ = 9 + 4√5 + 9 - 4√5 = 18.

То есть x + y = ³√(9+4√5) + ³√(9-4√5) = ³√18.

Теперь рассмотрим второе выражение:

³√(9+4√5) = a, ³√(9-4√5) = b

Тогда:

a - b = ³√(9+4√5) - ³√(9-4√5)

Так как (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³, то

(a - b)³ = (³√(9+4√5) - ³√(9-4√5))³ = 9 + 4√5 - 9 + 4√5 = 8√5.

То есть a - b = ³√(9+4√5) - ³√(9-4√5) = ²√5.

Таким образом, значения выражений ³√(9+4√5) + ³√(9-4√5) и ³√(9+4√5) - ³√(9-4√5) равны соответственно ³√18 и ²√5.