Найти массу пластины Найти массу пластины ограниченной линиями

L1: (x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2

L2: y = 0 (x и y > 0)


если б(x, y) = x^2 - y^2 поверхностная плотность пластины в точке

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения линии L1 с линией L2:

Подставим y = 0 в уравнение L1:
(x^2 + 0)^2 = x^2
x^4 = x^2
x^4 - x^2 = 0
x^2(x^2 - 1) = 0
x = 0 или x = ±1

Точки пересечения: (0,0), (-1,0), (1,0)

Теперь найдем массу пластины:

Масса пластины определяется как интеграл от поверхностной плотности по площади пластины. Площадь пластины можно найти с помощью двойного интеграла по области, ограниченной линиями L1 и L2.

Так как линия L2 ограничивает пластину снизу, то границы интегрирования по x будут от -1 до 1, а границы по y от 0 до корня из (1 - x^2), чтобы охватить всю площадь пластины.

M = ∬D b(x, y) dS
= ∫(x=-1)^(1) ∫_(y=0)^(sqrt(1-x^2)) (x^2 - y^2) dy dx

Вычислим этот двойной интеграл.