Проверить потенциальность поля вектора, найти его потенциал Проверить потенциальность поля вектора a = 2xyi + (x^2 - 2yz)j - y^2k
Найти его потенциал

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы проверить потенциальность поля вектора, нужно найти его ротор (векторное произведение градиента исходного поля). Если ротор равен нулю, то поле является потенциальным.

Исходное поле вектора a = 2xyi + (x^2 - 2yz)j - y^2k

Градиент данного поля:
∇(2xyi + (x^2 - 2yz)j - y^2k) = ∂/∂x(2xy)i + ∂/∂y(x^2 - 2yz)j + ∂/∂z(-y^2)k
= 2y*i + (2xj - 2zk)

Теперь найдем ротор данного поля (векторное произведение):
rot(a) = ∇ x a = ∂/∂x(2y) - ∂/∂y(2x) + 2i x 2z - 2x*(-2z) - 2k x 2x - (2x - 2j)

rot(a) = 0

Таким образом, ротор поля вектора a равен нулю, что означает, что поле a является потенциальным.

Найдем потенциал данного поля. Для этого проинтегрируем каждую компоненту поля вектора по соответствующей координате:

Потенциал поля a(x, y, z) = ∫(2xy)dx + ∫(x^2 - 2yz)dy - ∫(y^2)dz
= x^2y + xy^2 - y^2z

Таким образом, потенциал поля вектора a равен x^2y + xy^2 - y^2z.