Задача по геометрии Основание пирамиды-прямоугольник с углом между диагоналями 120 градусов. Все боковые ребра пирамиды равны 3 см и наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи найдем сначала высоту пирамиды.
Рисунок прилагается.

Высота пирамиды h равна проекции одного из боковых ребер на плоскость основания. Так как боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 45 градусов, то проекция ребра на плоскость основания образует прямоугольный треугольник с углом 45 градусов и катетом равным 3 см (половина боковой стороны основания). Таким образом, высота h равна 3 см.

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле:
V = (1/3) S h,
где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь прямоугольника S равна произведению его двух диагоналей, деленному на 2:
S = (a * b) / 2,
где a и b - длины диагоналей.

Так как у нас прямоугольник, у которого угол между диагоналями 120 градусов, то диагонали равны. Для вычисления длины диагонали найдем высоту и половину одной из сторон прямоугольника, образованного диагоналями.
Половина стороны прямоугольника b равна
b = 3 sin(60) = 3 sqrt(3) / 2 = 3 * sqrt(3) / 2 см.

Высота прямоугольника (и диагонали) равна
h = 3 * cos(60) = 3 / 2 см.

Теперь найдем длину диагонали:
a = 2 * 3 / 2 = 3 см.

Таким образом, S = (3 * 3) / 2 = 9 / 2 см^2.

Теперь подставляем все значения в формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) (9 / 2) 3 = 9 / 2 см^3.

Ответ: объем пирамиды равен 9 / 2 или 4,5 кубических сантиметра.