Найти поток векторного поля Найти поток векторного поля a = 2(z - y)j +(x - z)k через часть поверхности S:z = 4 - 2(x^2 + y^2) вырезанную плоскостью P:z = 2 непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Островского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезанную плоскостью P
Для начала найдем нормаль к поверхности S, она будет параллельна вектору (0, 0, -1) (так как z = 2)
Тогда нормаль к поверхности S будет равна (0, 0, -1)
Теперь найдем скалярное произведение вектора поля a и нормали к поверхности S
a * n = -2(z - y) + 0 + 0 = -2(2 - y)

Теперь найдем двойной интеграл этого выражения по поверхности S. Так как поверхность S задана в полярных координатах, то площадь можно представить в виде двойного интеграла по области проекции поверхности S на плоскость Oxy:

∫∫(2 - y)dS, где область проекции будет x^2 + y^2 <= 1 (круг с радиусом 1)

Выполнив вычисления, получим результат:

∫∫(2 - y)dS = ∫∫(2 - r*sin(θ))rdrdθ, где интегрирование проводится по области x^2 + y^2 <=
= 2π

Таким образом, поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезанную плоскостью P, равен 2π.

Теперь найдем поток векторного поля a с помощью формулы Гаусса-Остроградского
Учитывая, что область интегрирования остается той же, а векторное поле a равно (2, 0, -2), то с использованием формулы Гаусса-Остроградского получаем:

∫∫∫(div a)dV = ∫∫a * n dS

div a = ∂/∂x(2) + ∂/∂y(0) + ∂/∂z(-2) = 0 - 0 - 2 = -
∫∫∫(-2)dV = -2V = -2π

Таким образом, поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезанную плоскостью P, равен -2π.