Найти направление наибольшего возрастания функции и скорость ее возрастания в этом направлении Найти направление наибольшего возрастания функции U(x,y,z) = (x^2)yz в точке m(-2,2,1) и скорость ее возрастания в этом направлении

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения направления наибольшего возрастания функции в точке m(-2,2,1) нужно найти градиент функции U(x,y,z) в этой точке. Градиент функции задается следующим образом:

grad(U) = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z)

Вычислим градиент функции U(x,y,z) = (x^2)yz:

∂U/∂x = 2xyz
∂U/∂y = x^2z
∂U/∂z = x^2y

Теперь найдем значения градиента в точке m(-2,2,1):

grad(U) = (2(-2)21, (-2)^211, (-2)^22) = (-8, 4, 4)

Направление наибольшего возрастания функции будет совпадать с направлением вектора градиента, т.е. вектором (-8, 4, 4).

Для нахождения скорости возрастания функции в этом направлении нужно найти скалярное произведение вектора градиента на данное направление:

(-8, 4, 4) (-8, 4, 4) = (-8)(-8) + 44 + 44 = 64 + 16 + 16 = 96

Следовательно, скорость возрастания функции U(x,y,z) = (x^2)yz в направлении (-8, 4, 4) равна 96.