Вычислить массу полусферы, матанализ Вычислить массу полусферы x^2 + y^2 + z^2 = a^2 где (z>= 0) если плотность ее равна z/a

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления массы полусферы нам необходимо сначала найти объем полусферы, а затем умножить его на плотность материала.

Для начала, найдем уравнение полусферы в сферических координатах:

x^2 + y^2 + z^2 = a^2
z = a*cos(theta)

Теперь найдем объем полусферы. Проинтегрируем по тета от 0 до pi/2, по r от 0 до acos(theta), и по phi от 0 до 2pi:

V = ∫[0 to 2pi] ∫[0 to pi/2] ∫[0 to acos(theta)] r^2 sin(phi) dr d(theta) d(phi)
V = 2pi ∫[0 to pi/2] ∫[0 to acos(theta)] r^2 sin(phi) dr d(theta)
V = 2pi ∫[0 to pi/2] (1/3)(acos(theta))^3 sin(phi) d(theta)
V = (4/3) pi * a^3

Теперь у нас есть объем полусферы. Для вычисления массы умножим объем на плотность материала:

M = V p
M = (4/3) pi a^3 z/a
M = (4/3) pi a^2 * z

Итак, масса полусферы равна (4/3) pi a^2 * z.