Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Докажите тождество.
cos2a+cos6a+cos10a+cos14a=sin6a/2sin2a

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала используем формулу для вычисления косинуса суммы углов:

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Применим данную формулу дважды к косинусу 2a:

cos(2a) = cos(a+a) = cos(a)cos(a) - sin(a)sin(a) = cos^2(a) - sin^2(a) = cos^2(a) - (1-cos^2(a)) = 2cos^2(a) - 1

Теперь выразим косинус 6a, 10a и 14a через косинус 2a, используя формулу суммы углов:

cos(6a) = cos(2a+4a) = cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a) = (2cos^2(a) - 1)(2cos^2(2a) - 1) - 2sin(a)cos(a)2sin(2a)cos(2a) = (2cos^2(a) - 1)(2(2cos^2(a) - 1) - 1) - 2sin(a)cos(a)22sin(a)cos(a) = (2cos^2(a) - 1)(4cos^2(a) - 3) - 8sin^2(a)cos^2(a) = 8cos^4(a) - 6cos^2(a) - 4cos^2(a) + 3 - 8(1-cos^2(a))cos^2(a) = 8cos^4(a) - 6cos^2(a) - 4cos^2(a) + 3 - 8(cos^2(a) - cos^4(a)) = 8cos^4(a) - 6cos^2(a) - 4cos^2(a) + 3 - 8cos^2(a) + 8cos^4(a) = 16cos^4(a) - 18cos^2(a) + 3

cos(10a) = cos(6a+4a) = cos(6a)cos(4a) - sin(6a)sin(4a) = (16cos^4(a) - 18cos^2(a) + 3)(2cos^2(a) - 1) - 2sin(3a)cos(3a)2sin(2a)cos(2a) = (16cos^4(a) - 18cos^2(a) + 3)(2cos^2(a) - 1) - 2sqrt(3)/2(2cos(a) - 1)2sqrt(2)/2cos(a)cos(2a) = (16cos^4(a) - 18cos^2(a) + 3)(2cos^2(a) - 1) - sqrt(3)(2cos(a) - 1)sqrt(2)cos(a)(2cos^2(a) - 1) = (16cos^4(a) - 18cos^2(a) + 3)(2cos^2(a) - 1) - sqrt(3)(2cos(a) - 1)sqrt(2)cos(a)(2cos^2(a) - 1
= 32cos^6(a) - 16cos^4(a) - 36cos^4(a) + 18cos^2(a) + 6cos^2(a) - 3 - sqrt(6)cos(a)*(6cos^3(a) - 3cos(a) - 8cos^4(a) + 4cos(a))

Подсчитаем cos(14a) вам останется лишь остатоконравится.

После этого сложим все полученные значения и докажем тождество.