Найти поток векторного поля Найти поток векторного поля a = 2(z - y)j +(x - z)k через часть поверхности S:z = 4 - 2(x^2 + y^2) вырезанную плоскостью P:z = 2 непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Островского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем сначала поток векторного поля через часть поверхности S.

Поскольку S вырезана плоскостью P: z = 2, то уравнение поверхности S примет вид z = 4 - 2(x^2 + y^2), где z изменяется от 2 до 4.

Вычислим нормаль к поверхности S:

n = (0, 0, 1)

Теперь выразим векторное поле a через дифференциал поверхности:

a = 2(z - y)j + (x - z)k = 2(4 - 2(x^2 + y^2) - y)j + (x - 4 + 2(x^2 + y^2))k

Вычислим скалярное произведение вектора a и нормали n:

a n = 2(4 - 2(x^2 + y^2) - y) 0 + (x - 4 + 2(x^2 + y^2)) * 1 = x - 4 + 2(x^2 + y^2)

Теперь вычислим поток векторного поля a через поверхность S:

∬(a * n)dS = ∬(x - 4 + 2(x^2 + y^2))dxdy

Интегрирование проводится по области, где 2 <= z <= 4, -√(1-x^2) <= y <= √(1-x^2).

Теперь найдем поток через часть поверхности S с помощью формулы Гаусса-Островского:

∬(a * n)dS = ∭(div(a))dV

div(a) = ∂(2(z - y))/∂z + ∂(x - z)/∂x = 2 - 2 + 0 = 0

Таким образом, поток векторного поля a через часть поверхности S равен 0.