Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами необходимо вначале решить соответствующее характеристическое уравнение, а затем найти частное решение неоднородного уравнения.
Характеристическое уравнение Для уравнения y'' + 8y' + 16y = 0 характеристическое уравнение имеет вид r^2 + 8r + 16 = 0
Для его решения найдем дискриминант D = 8^2 - 4 * 16 = 64 - 64 = 0
Таким образом, уравнение имеет корень r = -4 (кратный корень).
Общее решение однородного уравнения y(x) = c1 e^(-4x) + c2 x * e^(-4x)
Частное решение неоднородного уравнения Ищем частное решение в виде y_p(x) = A * e^(-4x)
Дифференцируем два раза y_p'(x) = -4A e^(-4x y_p''(x) = 16A e^(-4x)
Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами необходимо вначале решить соответствующее характеристическое уравнение, а затем найти частное решение неоднородного уравнения.
Характеристическое уравнениеДля уравнения y'' + 8y' + 16y = 0 характеристическое уравнение имеет вид
r^2 + 8r + 16 = 0
Для его решения найдем дискриминант
D = 8^2 - 4 * 16 = 64 - 64 = 0
Таким образом, уравнение имеет корень r = -4 (кратный корень).
Общее решение однородного уравнения
Частное решение неоднородного уравненияy(x) = c1 e^(-4x) + c2 x * e^(-4x)
Ищем частное решение в виде
y_p(x) = A * e^(-4x)
Дифференцируем два раза
y_p'(x) = -4A e^(-4x
y_p''(x) = 16A e^(-4x)
Подставляем в неоднородное уравнение
16A e^(-4x) - 32A e^(-4x) + 16A * e^(-4x) = -10e^(-4x)
Таким образом, A = -10/48 = -5/24
Частное решение
Общее решениеy_p(x) = -(5/24)e^(-4x)
y(x) = c1 e^(-4x) + c2 x * e^(-4x) - (5/24)e^(-4x)
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения
y(x) = c1 e^(-4x) + c2 x * e^(-4x) - (5/24)e^(-4x)