Найти общее решение (желательно подробно расписать) y'' + 8y' + 16y = -10e^(-4x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами необходимо вначале решить соответствующее характеристическое уравнение, а затем найти частное решение неоднородного уравнения.

Характеристическое уравнение:
Для уравнения y'' + 8y' + 16y = 0 характеристическое уравнение имеет вид:
r^2 + 8r + 16 = 0

Для его решения найдем дискриминант:
D = 8^2 - 4 * 16 = 64 - 64 = 0

Таким образом, уравнение имеет корень r = -4 (кратный корень).

Общее решение однородного уравнения:
y(x) = c1 e^(-4x) + c2 x * e^(-4x)

Частное решение неоднородного уравнения:
Ищем частное решение в виде:
y_p(x) = A * e^(-4x)

Дифференцируем два раза:
y_p'(x) = -4A e^(-4x)
y_p''(x) = 16A e^(-4x)

Подставляем в неоднородное уравнение:
16A e^(-4x) - 32A e^(-4x) + 16A * e^(-4x) = -10e^(-4x)

Таким образом, A = -10/48 = -5/24

Частное решение:
y_p(x) = -(5/24)e^(-4x)

Общее решение:
y(x) = c1 e^(-4x) + c2 x * e^(-4x) - (5/24)e^(-4x)

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
y(x) = c1 e^(-4x) + c2 x * e^(-4x) - (5/24)e^(-4x)