Найти общее решение y'' + 4y = tg2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения второго порядка необходимо вначале найти частное решение однородного уравнения y'' + 4y = 0.

Характеристическое уравнение для однородного уравнения: r^2 + 4 = 0
r^2 = -4
r = ±2i

Таким образом, общее решение однородного уравнения выглядит следующим образом:
y_h = C1cos(2x) + C2sin(2x), где C1 и C2 - произвольные константы.

Теперь найдем частное решение не однородного уравнения y'' + 4y = tg(2x).

Предположим, что частное решение имеет вид:
y_p = A*tg(2x)

Вычислим первую и вторую производную:
y_p' = A2(sec(2x))^2
y_p'' = A4sec(2x)*tan(2x)

Подставим найденные производные в исходное уравнение:
A4sec(2x)tan(2x) + 4Atg(2x) = tg(2x)
A4sec(2x)tan(2x) + 4Atg(2x) = tg(2x)

Учитывая, что sec(2x) = 1/cos(2x) и tg(2x) = sin(2x)/cos(2x), получим:
A4sin(2x) + 4A*cos(2x) = sin(2x),

Сокращаем на cos(2x):
A*4tan(2x) + 4A = 1,
4A + 4A = 1,
8A = 1,
A = 1/8.

Итак, частное решение:
y_p = (1/8)*tg(2x).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y'' + 4y = tg(2x):
y = y_h + y_p,
y = C1cos(2x) + C2sin(2x) + (1/8)*tg(2x), где C1 и C2 - произвольные константы.