Решить задачу Коши (подробно) (y')^2 + 2y*y'' = 0
Если
y(0) = 1
y'(0) = 1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение является уравнением второго порядка и нелинейным.

Для начала, введем обозначение: y' = dy/dx, y'' = d^2y/dx^2

Дано уравнение: (y')^2 + 2y*y'' = 0

Теперь подставим y' = dy/dx и y'' = d^2y/dx^2 в уравнение:

(dy/dx)^2 + 2y * d^2y/dx^2 = 0

Уравнение выше является уравнением в дифференциалах первого порядка.

Далее, для того чтобы найти решение задачи Коши, мы должны найти функцию y(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению и начальным условиям: y(0) = 1 и y'(0) = 1.

На данном этапе будет удобно ввести новую переменную z = dy/dx, тогда уравнение примет вид:

z^2 + 2y* dz/dx = 0

Перепишем уравнение в виде разделяющихся переменных:

z^2 dx + 2y dz = 0

Теперь проинтегрируем это уравнение, учитывая начальные условия.

∫z^2 dx + 2 ∫y dz = 0

∫z^2 dx = - 2 ∫y dz

Теперь найдем первообразную для каждого из слагаемых:

∫z^2 dx = z^3 / 3 + C1

∫y dz = y^2 / 2 + C2

Подставим найденные первообразные:

z^3 / 3 + C1 = - y^2 + C2

Из начальных условий получаем: y(0) = 1 и z(0) = 1

Тогда: C1 = 0 и C2 = 1

Итак, уравнение в дифференциалах примет вид:

z^3 / 3 = 1 - y^2

Теперь можно подставить y = 1 и z = 1 и проинтегрировать, чтобы найти выражение для y(x).

Таким образом, мы получим решение задачи Коши для данного уравнения.