Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. ρ^2 = 2sin2φ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение задает полярную кривую. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этой кривой, нужно найти ее площадь в полярных координатах.

Площадь в полярных координатах вычисляется по формуле: A = (1/2)∫[a,b] ρ^2 dφ.

Заметим, что ρ^2 = 2sin^2(φ) = sin^2(2φ), поэтому новая площадь фигуры будет равна: A = (1/2)∫[0,2π] sin^2(2φ) dφ.

Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2φ) = 2sin(φ)cos(φ). Тогда sin^2(2φ) = (2sin(φ)cos(φ))^2 = 4sin^2(φ)cos^2(φ).

Теперь используем формулу тригонометрического тождества: sin^2(φ) = (1 - cos(2φ))/2. Тогда sin^2(2φ) = 4(1 - cos(2φ))/2 * cos^2(φ) = 2(1 - cos(2φ))cos^2(φ) = 2(cos^2(φ) - cos(2φ)cos^2(φ)) = 2(cos^2(φ) - 1/2(1 + cos(2φ))).

Теперь можно выразить площадь через cos(2φ) и cos(φ) с помощью новой формулы: A = (1/2)∫[0,2π] 2(cos^2(φ) - 1/2(1 + cos(2φ))) dφ.

Вычисляем данное интеграл с границами от 0 до 2π. Полученный результат будет площадью фигуры, ограниченной указанными линиями.