На сторонах ab и bc треугольника abc отмечены точки d и f соответственно. С этих точек проведены к прямой ac перпендикуряры dk и fp, причем угол adk равен углу pfc. Докажите, что ab равно bc

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия у нас есть следующее:

Угол adk равен углу pfc (1).Треугольник adk и треугольник pfc прямоугольные (поскольку dk и fp проведены перпендикулярно к ac) (2).Угол d равен углу f (3) -- это следует из того, что углы adk и pfc равны.Следовательно, треугольники adk и pfc подобны (по двум углам).

Теперь обозначим стороны треугольника abc как ab = x, ac = y и bc = z.

Из подобия треугольников adk и pfc, мы можем написать:

ak/pf = dk/fc
ak/x = pf/y
ak = (pf * x) / y

Далее, заметим, что abd и fbc -- также прямоугольные треугольники (из перпендикулярности dk и fp к ac).

Из того, что abd и fbc -- прямоугольные, мы имеем:

ak = kd
pf = fc

Следовательно:

(pf x) / y = (pf z) / y

pf/y x = pf/y z
x = z

Итак, мы доказали, что сторона ab равна стороне bc.