Прямоугольный треугольник разделили на три четырёхугольника, опуская на его стороны перпендикуляры из центра... ...вписанной окружности. Докажите, что к каждому из этих четырёхугольников можно провести и описанную, и вписанную окружность.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть прямоугольный треугольник ABC имеет гипотенузу AB, катеты AC и BC, а центр вписанной окружности находится в точке I.
На каждой из сторон треугольника опустим перпендикуляры из центра вписанной окружности I, получим точки D, E, F - точки касания центра окружности с треугольником.
Теперь построим четырехугольник AIDF, очевидно, что у этого четырехугольника можно провести вписанную окружность, поскольку углы AID и IDF равны.
Далее проведем описанную окружность для четырехугольника AIDF, она будет проходить через точки A, D и F, так как три угла между точками A, D и F, лежащими на окружности, равны углу ADF.
Аналогично можем провести и описанные, и вписанные окружности для остальных четырехугольников, QEIF и BIEQ.
Таким образом, мы доказали, что к каждому из четырехугольников, образованных делением прямоугольного треугольника на три четырехугольника, можно провести и описанную, и вписанную окружность.