Задача из комбинаторики На плоскости проведено 255 прямых так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. На сколько частей делят плоскость эти прямые?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Эйлера для плоскости: F = E - V + 2, где F - количество частей, на которые разбивает плоскость данное количество прямых, E - количество рёбер (прямых), V - количество вершин (точек пересечения прямых).

У нас дано, что E = 255 прямых. Для подсчета количества вершин воспользуемся тем, что никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Посчитаем количество вершин, образованных пересечениями прямых:

Пересечение двух прямых даёт одну вершину.Так как никакие три прямые не пересекаются в одной точке, то пересечение трёх прямых даёт три вершины (точка пересечения каждой пары прямых).

Таким образом, количество вершин V = 255 + 3*(C(255, 3)), где C(n, k) - количество способов выбрать k элементов из n.

Подставим значения в формулу Эйлера:
F = 255 - V + 2 = 255 - (255 + 3(C(255, 3))) + 2 = 255 - 255 - (31731675) + 2 = -3*1731675 + 2 = -5195023.

Таким образом, плоскость будет разбита на 5195023 части.