В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняются равенства ∠ADB=2∠DBC, и ∠ABD=2∠BDC, и AB = CB. Докажите, что AD = CD
В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняются равенства ∠ADB=2∠DBC, и ∠ABD=2∠BDC, и AB = CB. Докажите, что AD = CD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем теорему синусов в треугольнике ABD:
AB/sin∠ADB = BD/sin∠ABD => AB/sin(2∠DBC) = BD/sin(2∠BDC)
AB = CB => CB/sin(2∠DBC) = BD/sin(2∠BDC)
Так как ∠ADB = 2∠DBC => sin(∠ADB) = sin(2∠DBC) = 2sin∠DBCcos∠DBC
Так как ∠ABD = 2∠BDC => sin(∠ABD) = sin(2∠BDC) = 2sin∠BDCcos∠BDC
Следовательно, мы имеем AB/2sin∠DBCcos∠DBC = CB/2sin∠BDCcos∠BDC
AB = CB => 1/2sin∠DBCcos∠DBC = 1/2sin∠BDCcos∠BDC => sin∠DBCcos∠DBC = sin∠BDCcos∠BDC
Из последнего равенства следует, что sin2∠DBC = sin2∠BDC
Имеем, что ∠DBC+∠BDC=90 => sin(∠DBC) = cos(∠BDC)
Таким образом, мы имеем, что ∠ADB = 2∠DBC = ∠A = 45
Аналогично ∠ABD = 2∠BDC = ∠B = 45
Из этого следует, что треугольники ABD и CBD равнобедренные и равноcторонние
То есть, AD = BD = CD