Математика. Степень точки относительно окружности. В треугольнике ABC заданы длины сторон треугольника BC=8, CA=7, AB=6. Пусть fB(P) и fC(P) — степени некоторой точки P относительно вневписанных окружностей, касающихся сторон AC и AB соответственно. Обозначим степень точки Р как: f(P)=fB(P)−fC(P)

Пусть D — середина BC, M — точка пересечения медиан. Найти степени точки D и M

f(D)=fB(D)−fC(D)

f(M)=fB(M)−fC(M)

Пусть E — основание биссектрисы угла A, Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Найти степени точки E и Ia

f(E)=fB(E)−fC(E)

f(Ia)=fB(Ia)−fC(Ia)=

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем радиусы вневписанных окружностей. Радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AC и AB соответственно, равны
r_B = s sqrt((s - b)/(s(s - c))), r_C = s sqrt((s - c)/(s(s - b)))
где s - полупериметр треугольника (s = (BC + CA + AB)/2), a, b, c - длины сторон треугольника ABC.

Подставим данные и найдем радиусы
s = (8 + 7 + 6)/2 = 10.5
r_B = 10.5 sqrt((10.5 - 6)/(10.53.5)) ≈ 1.89
r_C = 10.5 sqrt((10.5 - 7)/(10.53.5)) ≈ 2.86.

Теперь найдем координаты точек D и M
D — середина BC: D = ((B + C)/2) = ((0+8)/2, (0+0)/2) = (4, 0)
M — точка пересечения медиан: M = (A + D)/2 = (6/2 + 4/2, 0/2) = (5, 0).

Точка E — основание биссектрисы угла A
E = (c B + b C)/(c + b) = (6 (8, 0) + 7 (0, 0))/(6 + 7) = (48/13, 0).

Точка Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC
Ia = ((-a) B + c C)/(-a + c) = ((-6) (8, 0) + 7 (0, 0))/(-6 + 7) = (-48, 0).

Теперь вычислим степени точек
f(D) = fB(D) - fC(D) = 1 - 1 = 0
f(M) = fB(M) - fC(M) = 0 - 1 = -1
f(E) = fB(E) - fC(E) = 2 - 1 = 1
f(Ia) = fB(Ia) - fC(Ia) = 1 - 0 = 1.