Стереометрия, пирамида, двугранный угол. В пирамиде ABCD двугранный угол при ребере АВ равен 60. К ребру АВ из вершин С и D проводятся перпендикуляры CM, DN. Найти СD, если СМ=4, DN=3, MN=1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По условию задачи, двугранный угол при ребре АВ пирамиды ABCD равен 60 градусов. Следовательно, угол между плоскостью основания ABCD и боковыми гранями равен 60 градусов.

Так как CM и DN - перпендикуляры к ребру AB, то треугольники CMB и DNB прямоугольные. Далее, расмотрим прямоугольные треугольники CMB и DNB.

Из условия задачи известно, что CM=4, DN=3 и MN=1.

Так как BC=BD (ребра основания равны), то по теореме Пифагора в треугольнике CMB
(CB^2 = CM^2 + MB^2 = CM^2 + (AB-MN)^2)

Также, в треугольнике DNB
(BD^2 = DN^2 + NB^2 = DN^2 + (AB+MN)^2)

Из условия задачи следует, что CB=BD, следовательно
(CM^2 + (AB-MN)^2 = DN^2 + (AB+MN)^2)

Подставим в данное равенство известные значения и найдем длину ребра AB
(4^2 + (AB-1)^2 = 3^2 + (AB+1)^2)

Решив данное уравнение, получим AB=5.

Теперь вычислим длину ребра CD, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AMN
(CD^2 = CM^2 + MN^2 = 4^2 + 1^2)

Отсюда получаем, что CD=(\sqrt{17})