Задача по геометрии Как доказать, что если бисектрисы параллелограмма перпендикулярны, то это диагонали, а параллелограмм - ромб

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо разобрать свойства параллелограмма и определение ромба:

Теперь докажем, что если бисектрисы параллелограмма перпендикулярны, то это диагонали:

Пусть ABCD - параллелограмм, причем бисектрисы углов A и C перпендикулярны. Обозначим точку пересечения биссектрис O.

Так как бисекрисы углов A и C перпендикулярны, то треугольник AOB и треугольник COD равнобедренные (по признаку перпендикуляра к основанию), следовательно, ∠OAB = ∠OBA и ∠OCB = ∠ODC.

Из того, что AB || CD, следует, что ∠OAB = ∠OCD и ∠OBA = ∠ODC.

Поскольку ∠OAB = ∠OBA и ∠OCD = ∠ODC, то треугольник AOB подобен треугольнику COD по двум углам и общей стороне AO. Следовательно, треугольник AOB равен по размерам треугольнику COD, то есть OA = OD и OB = OC, то есть AC = BD, следовательно, это - диагонали.

Теперь докажем, что параллелограмм ABCD - это ромб:

Так как диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O, то O - точка пересечения диагоналей, которая делит их пополам. Так как AC = BD, то получаем, что ABCD - ромб.

Таким образом, если бисектрисы параллелограмма перпендикулярны, то это диагонали, а параллелограмм - ромб.