Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн y=x2+mn-n2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=x^2+mn-n^2, необходимо найти точки пересечения этой кривой с осью x, а затем проинтегрировать функцию с использованием границ интегрирования, которые представляют собой значения x для точек пересечения.

Для начала, найдем точки пересечения кривой y=x^2+mn-n^2 с осью x, то есть значения x, при которых y=0:

x^2 + mn - n^2 = 0
x^2 = n^2 - mn
x = ±√(n^2 - mn)

Теперь рассмотрим интеграл функции y=x^2+mn-n^2 по значениям x от -√(n^2 - mn) до √(n^2 - mn):

S = ∫[ -√(n^2 - mn), √(n^2 - mn) ] (x^2+mn-n^2) dx
= ∫[ -√(n^2 - mn), √(n^2 - mn) ] (x^2) dx + ∫[ -√(n^2 - mn), √(n^2 - mn) ] (mn-n^2) dx
= [ (1/3)x^3 ] [ -√(n^2 - mn), √(n^2 - mn) ] + [ (mn-n^2)x ] [ -√(n^2 - mn), √(n^2 - mn) ]
= (1/3)(√(n^2 - mn))^3 - (-1/3)(√(n^2 - mn))^3 + [ (mn-n^2)√(n^2 - mn) ] - [ (mn-n^2)√(n^2 - mn) ]
= (2/3)(n^2 - mn)^(3/2) + 2((mn-n^2)*√(n^2 - mn))

Таким образом, площадь фигуры ограниченной кривой y=x^2+mn-n^2 равна (2/3)(n^2 - mn)^(3/2) + 2((mn-n^2)*√(n^2 - mn)).

Это и есть искомая площадь данной фигуры.