На поверхности сферы радиуса R независимо одна
от другой поставлены две точки положение каждой из которых равновозможно на сфере. Определить вероятность того,
что проходящая через эти точки дуга большого круга стягивает угол, меньший α (α<π).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения вероятности мы можем представить, что одна из точек находится на северном полюсе сферы, а вторая точка находится на сфере вдоль экватора. Тогда дуга большого круга, соединяющая эти две точки, будет описывать угол, равный дуге от одного меридиана до другого.

Угол, описываемый дугой большого круга, равен длине дуги вдоль экватора между двумя меридианами. Длина дуги вдоль экватора равна 2πR, а угол под которым она описывается, равен 2π. Таким образом, вероятность того, что угол, под которым описывается дуга большого круга, меньше α, равна отношению угла α к полному углу 2π:

P = α / 2π

Таким образом, вероятность того, что проходящая через две равновероятные точки дуга большого круга стянет угол, меньший α, равна α / 2π.