Найдите максимальное значение выражения Ф(x,y,z) = [(x/a1) + (y/a2) + (z/a3)]*(x*a1 + y*a2 + z*a3)/(x + y + z)^2 при условии x > 0, y > 0, z > 0, ai > 0 (ai – константы)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения максимального значения выражения Ф(x, y, z) необходимо воспользоваться методом Лагранжа.

Зададим функцию L(x, y, z, λ) = [(x/a1) + (y/a2) + (z/a3)](xa1 + ya2 + za3)/(x + y + z)^2 - λ(x + y + z)

Вычислим частные производные по x, y, z и λ и приравняем их к нулю:

∂L/∂x = [a1/a1(x/a1) + a1/a2(y/a2) + a1/a3(z/a3)](xa1 + ya2 + za3)/(x + y + z)^2 - 2λ(xa1 + ya2 + za3)/(x + y + z)^3 = 0
∂L/∂y = [a2/a1(x/a1) + a2/a2(y/a2) + a2/a3(z/a3)](xa1 + ya2 + za3)/(x + y + z)^2 - 2λ(xa1 + ya2 + za3)/(x + y + z)^3 = 0
∂L/∂z = [a3/a1(x/a1) + a3/a2(y/a2) + a3/a3(z/a3)](xa1 + ya2 + za3)/(x + y + z)^2 - 2λ(xa1 + ya2 + z*a3)/(x + y + z)^3 = 0
∂L/∂λ = -(x + y + z) = 0

Решая систему уравнений, найдем значения x, y, z и λ, затем получим максимальное значение функции Ф(x, y, z).