Задача по математике 10-11 кл Дана правильная 3-х угольная пирамида. Высота=24см, апофема=26см. Найти Sполн и V

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам нужно найти площадь полной поверхности (S_{полн}) и объем (V) данной пирамиды.

Найдем боковую площадь пирамиды. Для этого воспользуемся формулой:
(S_{бок} = \frac{ah}{2}),
где
(a) - длина стороны основания (равна 2 апофеме, т.е. 2 * 26см),
(h) - высота пирамиды (24см).

(S_{бок} = \frac{2 26 24}{2} = 624 см^2).

Найдем полную площадь поверхности пирамиды:
(S{полн} = S{осн} + S{бок}),
где
(S{осн}) - площадь основания пирамиды.

Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, то основание у нее равносторонний треугольник. Найдем площадь основания:
(S_{осн} = \frac{a^2 * \sqrt{3}}{4}),
где
(a) - длина стороны основания.

Так как основание треугольника - равносторонний треугольник с апофемой 26см, то длина стороны основания равна (2 26 \tan(30^\circ)) (половина стороны основания - катет прямоугольного треугольника с углом 30 градусов, апофема - гипотенуза):
(S_{полн} = \frac{(2 26 \tan(30^\circ))^2 * \sqrt{3}}{4} + 624),

(S_{полн} = \frac{(2 26 \frac{1}{\sqrt{3}})^2 * \sqrt{3}}{4} + 624),

(S_{полн} = 338.62 + 624 = 962.62 см^2).

Найдем объем пирамиды:
(V = \frac{S_{осн} * h}{3}),

(V = \frac{(2 26 \frac{1}{\sqrt{3}})^2 \sqrt{3} 24}{12}),

(V = \frac{208.16 \sqrt{3} 24}{12} = 416.32 * \sqrt{3} см^3).

Итак, площадь полной поверхности пирамиды (S_{полн} = 962.62 см^2), а объем (V = 416.32 * \sqrt{3} см^3).