Описаные и вписаные В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°. А расстояние от центра вписанной окружности до вершины этого угла равна 8 см. Найдите самую маленькую(короткую) сторону этого треугольника.
Подробно объяснить и решение.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, причем угол BAC = 60 градусов. Пусть I - центр вписанной окружности, нарисуем перпендикуляр ID к стороне AB треугольника ABC. Так как ID - высота треугольника AIB, то треугольник AID равнобедренный(по принципу IS равенна ID и IA равенна IB).

Пусть AD = x, тогда по теореме синусов для треугольника AID, AI = x sin(60) / sin(30) = 2x sin(60) = x sqrt(3), также AI = 8 см, значит x = 8/sqrt(3) см.

Сторона AB треугольника ABC равна x + x sqrt(3) = x(1 + sqrt(3)) = 8 (1 + sqrt(3))/sqrt(3) = 8(sqrt(3) + 1) см.

Теперь проверим, что это действительно минимальная сторона треугольника. Для этого рассмотрим треугольник ABI: AB = 8(sqrt(3) + 1) см, AI = 8 см, BI = 8(sqrt(3) - 1) см. Применим неравенство треугольника в треугольнике ABI: AB + AI > BI, 8(sqrt(3) + 1) + 8 > 8(sqrt(3) - 1) => 8(sqrt(3) + 1) > 8(sqrt(3) - 1).

Таким образом, самая маленькая сторона треугольника ABC равна 8(sqrt(3) + 1) см.