Предел функции двух переменных Показать, что множество точек разрыва функции f(x,y) =xsin(1/y) если у ≠0 f(х, 0) = 0, не является замкнутым.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим точки разрыва функции f(x, y) = x*sin(1/y).

Точки разрыва функции f(x, y) могут быть только в точках, где sin(1/y) не существует или равен бесконечности. Таким образом, точки разрыва будут в точках, где y = 0 или sin(1/y) = ±∞.

Теперь найдем множество точек разрыва функции f(x, y).

При y = 0 функция имеет разрыв, так как f(x, 0) = 0, что не равно x*sin(1/0), так как sin(1/0) не существует.

При sin(1/y) = ±∞, это означает, что 1/y = ±(π/2 + 2πn), где n - любое целое число. Таким образом, y = ±(1/(π/2 + 2πn)), что значит, что в этих точках функция имеет разрыв.

Таким образом, множество точек разрыва функции f(x, y) = x*sin(1/y) - это точки (x, 0) и точки (x, ±(1/(π/2 + 2πn))), где n - любое целое число.

Теперь докажем, что это множество не является замкнутым. Для этого рассмотрим последовательность точек из этого множества, которая сходится к точке, не принадлежащей этому множеству. Например, рассмотрим последовательность (x, 1/(2π + πn)). Эта последовательность содержит только точки из множества точек разрыва, но все эти точки не сходятся к точке (x, 0), что не принадлежит этому множеству.

Таким образом, множество точек разрыва функции f(x, y) = x*sin(1/y) не является замкнутым.