Сформулируйте и докажите утверждения о решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Утверждение: Если дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка со стандартной формой:

[y'' + ay' + by = 0,]

где (a) и (b) – постоянные коэффициенты, то общим решением этого уравнения будет:

[y = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x},]

где (c_1) и (c_2) – произвольные постоянные, (r_1) и (r_2) – корни характеристического уравнения:

[r^2 + ar + b = 0.]

Доказательство:

Пусть дано уравнение (y'' + ay' + by = 0). Предположим, что его решение имеет вид (y = e^{rx}). Подставим это выражение в уравнение:

[r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0.]

После сокращения на (e^{rx}) получаем:

[r^2 + ar + b = 0.]

Это уравнение для нахождения корней (r_1) и (r_2).

Если уравнение имеет два различных корня (r_1) и (r_2), то общее решение имеет вид:

[y = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}.]

Причем любая линейная комбинация таких решений также является решением исходного дифференциального уравнения.

Если корни совпадают ((r_1 = r_2 = r)), то общее решение имеет вид:

[y = (c_1 + c_2x)e^{rx}.]

Это утверждение можно расширить на случай, когда корни являются комплексными числами. В таком случае общее решение будет содержать синусы и косинусы.

Таким образом, решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами сводится к нахождению корней характеристического уравнения и составлению общего решения в зависимости от типа корней.