Задача по геометрии. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом 2... В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом 2 и противолежащим углом 30 градусов. Диагональ большей боковой грани составляет с плоскостью основания 60 градусов. Найдите объём призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам необходимо найти высоту призмы и площадь основания.

По условию задачи, катет прямоугольного треугольника равен 2, а противолежащий ему угол равен 30 градусам. Тогда величина второго катета равна 2 tan(30°) = 2 1/√3 = 2/√3.

Так как прямоугольный треугольник является основанием призмы, то его площадь равна S = 1/2 2 2/√3 = 2/√3.

Обозначим высоту призмы за h. Тогда объем призмы V равен V = S h = (2/√3) h.

Теперь рассмотрим боковую грань призмы. По условию задачи, диагональ боковой грани образует у основания угол в 60 градусов. Так как боковая грань является равнобедренным треугольником, то углы при основании равны. Значит, можно составить прямоугольный треугольник с гипотенузой равной диагонали, катетом h, и противолежащим углом 60 градусов.

Из условия задачи, получаем что sin(60°) = h/D, где D - длина диагонали боковой грани. Следовательно, h = D * sin(60°).

Так как D - диагональ боковой грани прямой призмы, то D = 2/√3.

Подставляем все в формулу для объема призмы, получаем V = (2/√3) (2/√3) sin(60°) = (4/3) sin(60°) = (4/3) √3/2 = 2√3.

Ответ: объем призмы равен 2√3.