y=1/2x^2; x+y-4=0 вычислить площадь фигуры ограниченной линиями решить интегралом и рисунок нужен

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо решить систему уравнений и провести график функции.

Уравнение кривой задано как y = 1/2*x^2. Подставим это уравнение во второе уравнение x + y - 4 = 0:

x + 1/2x^2 - 4 = 0
1/2x^2 + x - 4 = 0
x^2 + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0

Отсюда получаем два корня x = -4 и x = 2.

Площадь фигуры, ограниченной линиями, может быть найдена как интеграл от функции y = 1/2*x^2 на интервале от -4 до 2:

S = ∫[a, b] (y(x) - f(x)) dx
S = ∫[-4, 2] ((1/2*x^2) - (x + 4)) dx

Вычислим данный интеграл:

S = ∫[-4, 2] ((1/2x^2) - (x + 4)) dx
S = [1/6x^3 - 1/2x^2 - 4x] [-4, 2]
S = [1/6(2)^3 - 1/2(2)^2 - 42] - [1/6(-4)^3 - 1/2(-4)^2 - 4*(-4)]
S = (8/6 - 4 - 8) - (-64/6 + 8 - 16)
S = (4/3 - 12) - (-10.67 + 8 - 16)
S = -8/3 - (-18.67)
S = -8/3 + 18.67
S ≈ 6.67

Итак, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна приблизительно 6.67.

Построим график функции y = 1/2*x^2 и решения задачи:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-5, 3, 100)
y = 1/2*x**2
plt.plot(x, y, label='y = 1/2*x^2')
plt.axvline(x=-4, color='r', linestyle='--', label='x = -4')
plt.axvline(x=2, color='g', linestyle='--', label='x = 2')
plt.fill_between(x, y, where=((x >= -4) & (x <= 2)), color='gray', alpha=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = 1/2*x^2 и ограничивающих линий')
plt.show()