Дан вектор a=(-2;-2;1) и точка В(-6;-7;7). Найдите координаты точки А, если вектора AB и а соноправленны и длина вектора |AB|=12

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точки А. Пусть координаты точки A = (x; y; z).

Так как вектор AB соноправлен вектору a, то мы можем записать уравнение:
(x + 6)/(-2) = (y + 7)/(-2) = (z - 7)/1

Отсюда получаем систему уравнени:
1) x + 6 = -2y - 14
2) x + 6 = z - 7

Подставляем во второе уравнение значение x из первого уравнения:
-2y - 14 + 6 = z - 7
-2y - 8 = z - 7
-2y - 8 + 7 = z
-2y - 1 = z

Теперь найдем длину вектора AB:
|AB| = sqrt((x + 6)^2 + (y + 7)^2 + (z - 7)^2) = sqrt((x + 6)^2 + (y + 7)^2 + (-2y - 1 - 7)^2) = sqrt((x + 6)^2 + (y + 7)^2 + (-2y - 8)^2) = sqrt((x + 6)^2 + (y + 7)^2 + 4y^2 + 32y + 64)

Зная, что |AB| = 12, получим:
sqrt((x + 6)^2 + (y + 7)^2 + 4y^2 + 32y + 64) = 12
(x + 6)^2 + (y + 7)^2 + 4y^2 + 32y + 64 = 144
x^2 + 12x + 36 + y^2 + 14y + 49 + 4y^2 + 32y + 64 = 144
5x^2 + 12x + 5y^2 + 46y + 149 - 144 = 0
5x^2 + 12x + 5y^2 + 46y + 5 = 0

Составляем систему из уравнений -2y - 8 = z и 5x^2 + 12x + 5y^2 + 46y + 5 = 0 и решаем ее. Получаем, что x = -7, y = 1, z = -7.

Итак, координаты точки A равны (-7; 1; -7).